La recta normal a una curva en un punto de tangencia dado, es una recta perpendicular a la tangente de dicho punto.
*Para determinar la ecuación de la recta normal a la curva de la función f(x) en un punto (x,y), utilizamos la ecuación: m= -1/f'(x)
Caso #1: Cuando nos den de dato sólo el punto de x y la ecuación. - Ejemplo:
*Determina la ecuación de la recta normal a la curva de f(x)=x2-4x+5 en el punto (x=1)
Cálcular el punto y; se sustituye el punto x en la ecuación:
f(x)= x2-4x+5
f(1)=(1)2-4(1)+5
f(1)=1-4+5
y= 2
Cálcular la pendiente de la recta normal con la ecuación: m= -1/f'(x)
m= -1/2x-4
m= -1/2(1)-4
m= -1/2-4
m= -1/ -2
m= 0.5
Determinar la ecuación punto-pendiente:
y-y1= m(x-x1)
y-2= 0.5(x-1)
y= 0.5x-0.5+2
y= 0.5x+1.5
Caso #2: Para determinar la ecuación de la línea normal que es perpendicular a una tangente, cuando nos aporten los datos de la ecuación de la curva y en el punto (x,y).
- Ejemplo:
*Determina la ecuación de la recta normal a la curva de f(x)= x2-x+1 en el punto de tangencia (2,3)
Cálcular el valor de la pendiente:
m= -1/2x-1
m= -1/2(2)-1
m= -1/4-1
m= -1/ 3
Sustituir los datos en la ecuación punto-pendiente:
La derivada es el limite del cociente del incremento de la variable dependiente entre el incremento de la variable independiente, cuando este tiende a cero;
lím∆y
∆x→0 ∆x
En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función.
El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación.
Reglas básicas;
1. Para una constante “a”;*
Si f(x)=a, su derivada es: f’(x)=0
Ejemplo: f(x)=23
f’(x)=0
2.Para la función identidad f(x)=x;*
Si f(x)=x, su derivada es: f’(x)=1
Ejemplo: f(x)=x
f’(x)=1
3. Para una constante “a” por una variable “x”;*
Si f(x)=ax, su derivada es: f’(x)=a
Ejemplo: f(x)=4x
f’(x)=4
4. Para una variable “x” elevada a una potencia “n”;*
Si f(x)=xⁿ, su derivada es: f’(x)=nxⁿˉ¹
Ejemplo: f(x)=4x³
f’(x)=12x²
5.Para una constante “a” por una variable “x” elevada a una potencia “n”;*
Si f(x)=axⁿ,su derivada es: f’(x)= anxⁿˉ¹
Ejemplo: f(x)=5x²
f‘(x)=10x
6. Para una suma de funciones;*
Si f(x)=u(x)+v(x), su derivada es: f’(x)=u’(x)+v’(x)
Ejemplo: f(x)=7x²+6x
f‘(x)=14x+6
7. Regla de la derivada delproducto
Esta regla es útil cuando se tiene una función formada por la multiplicación de polinomios; la regla de producto es:
f'(x)=u'v+uv'
Ejemplo:
f(x)= (5x³+2) (2x4-6)u’=15x2v’=8x³
f’(x)= (15x2)(2x4-6)+(5x³+2)(8x³)
f’(x)=30x6-90x2 +40x6 +16x³
f’(x)=70x6+16x³-90x2
8. Regla de la derivada del cociente
Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la división de polinomios; la regla de cociente es:
f'(x)= u'v-uv' / v2
Ejemplo:
u’=4 v’=1
f(x)= 4x /(x+3)
f’(x)=4(x+3) – 4x(1) / (x+3)2
f’(x)=4x+12 - 4x / (x+3)2
f’(x)= 12 / (x+3)2
*El denominador nunca cambia.
9. Regla de la derivada de la cadena
Esta regla es útil cuando se tiene unafunción formada por un polinomielevado a una potencia; la regla de cadena es:
f'(x)=n(u)n-1(u’)
Ejemplo:
f(x)= (4x³+2)5u’=12x2
f’(x)=5(4x³+2)4(12x2)
f’(x)=60x2(4x³+2) 4
*”n” se multiplica solo por laderivada de “u” (u’) y “u” sequeda igual.
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