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"La Recta Normal"

Posted: domingo, 16 de mayo de 2010 by Marizol in Etiquetas:
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La Recta Normal;

La recta normal a una curva en un punto de tangencia dado, es una recta perpendicular a la tangente de dicho punto.


 



 
*Para determinar la ecuación de la recta normal a la curva de la función f(x) en un punto (x,y), utilizamos la ecuación:        m= -1/f'(x)








 Caso #1: Cuando nos den de dato sólo el punto de x y la ecuación.
   
     - Ejemplo:


*Determina la ecuación de la recta normal a la curva de f(x)= x2-4x+5                          en el punto (x=1)


  • Cálcular el punto y; se sustituye el punto x en la ecuación:
f(x)= x2-4x+5 
f(1)=(1)2-4(1)+5 
f(1)=1-4+5
y= 2

  • Cálcular la pendiente de la recta normal con la ecuación: m= -1/f'(x)
 m= -1/2x-4
m= -1/2(1)-4
m= -1/2-4
m= -1/ -2
m= 0.5
  • Determinar la ecuación punto-pendiente: 

y-y1= m(x-x1)
y-2= 0.5(x-1)
y= 0.5x-0.5+2
y= 0.5x+1.5




Caso #2: Para determinar la ecuación de la línea normal que es perpendicular a una tangente, cuando nos aporten los datos de la ecuación de la curva y en el punto (x,y).
   
     - Ejemplo:


*Determina la ecuación de la recta normal a la curva de f(x)= x2-x+1                          en el punto de tangencia (2,3)

  • Cálcular el valor de la pendiente:
 m= -1/2x-1
m= -1/2(2)-1
m= -1/4-1
m= -1/ 3
 
  • Sustituir los datos en la ecuación punto-pendiente: 
y-y1= m(x-x1)
y-3= -1/3(x-2)
                           y= -1/3x+2/3+3*                         
y= -1/3x+11/3


*(3= 9/3) 










Cáculo Integral y Diferencial: ''La Derivada''

Posted: martes, 4 de mayo de 2010 by Marizol in Etiquetas:
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La Derivada;


La derivada es el limite del cociente del incremento de la variable dependiente entre el incremento de la variable independiente, cuando este tiende a cero; 


 lím   ∆y  
     ∆x→0 ∆x   

    
En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función. 

El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación.









Reglas básicas;



1. Para una constante “a”;*
Si f(x)=a, su derivada es: f’(x)=0
Ejemplo: f(x)=23
f’(x)=0

2. Para la función identidad f(x)=x;*
Si f(x)=x, su derivada es: f’(x)=1
Ejemplo: f(x)=x
f’(x)=1

3. Para una constante “a” por una variable “x”;*
Si f(x)=ax, su derivada es: f’(x)=a
Ejemplo: f(x)=4x
f’(x)=4

4. Para una variable “x” elevada a una potencia “n”;*
Si f(x)=xⁿ, su derivada es: f’(x)=nxⁿˉ¹
Ejemplo: f(x)=4x³
f’(x)=12x²

5. Para una constante “a” por una variable “x” elevada a una potencia “n”;*
Si f(x)=axⁿ,su derivada es: f’(x)= anxⁿˉ¹
Ejemplo: f(x)=5x²
f‘(x)=10x

6. Para una suma de funciones;*
Si f(x)=u(x)+v(x), su derivada es: f’(x)=u’(x)+v’(x)
Ejemplo: f(x)=7x²+6x
f‘(x)=14x+6



7. Regla de la derivada del producto


Esta regla es útil cuando se tiene una función formada por la multiplicación de polinomios; la regla de producto es:


f'(x)=u'v+uv'


Ejemplo: 


f(x)= (5x³+2) (2x4-6) u’=15x2 v’=8x³
f’(x)= (15x2)(2x4-6)+(5x³+2)(8x³)
f’(x)=30x6-90x2 +40x6 +16x³
f’(x)=70x6+16x³-90x2






8. Regla de la derivada del cociente


Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la división de polinomios; la regla de cociente es:


f'(x)= u'v-uv'  / v2


Ejemplo:

u’=4 v’=1
f(x)= 4x / (x+3)

f’(x)=4(x+3) – 4x(1) / (x+3)2
f’(x)=4x+12 - 4x / (x+3)2
f’(x)= 12 / (x+3)2

*El denominador nunca cambia.






9. Regla de la derivada de la cadena


Esta regla es útil cuando se tiene una función formada por un polinomielevado a una potencia; la regla de cadena es:


f'(x)=n(u)n-1(u’)


Ejemplo:

f(x)= (4x³+2)5 u’=12x2
f’(x)=5(4x³+2)4(12x2)
f’(x)=60x2(4x³+2) 4

*”n” se multiplica solo por la derivada de “u” (u’) y “u” se queda igual.