Cáculo Integral y Diferencial: ''La Derivada''

Posted: martes, 4 de mayo de 2010 by Marizol in Etiquetas:
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La Derivada;


La derivada es el limite del cociente del incremento de la variable dependiente entre el incremento de la variable independiente, cuando este tiende a cero; 


 lím   ∆y  
     ∆x→0 ∆x   

    
En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función. 

El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación.









Reglas básicas;



1. Para una constante “a”;*
Si f(x)=a, su derivada es: f’(x)=0
Ejemplo: f(x)=23
f’(x)=0

2. Para la función identidad f(x)=x;*
Si f(x)=x, su derivada es: f’(x)=1
Ejemplo: f(x)=x
f’(x)=1

3. Para una constante “a” por una variable “x”;*
Si f(x)=ax, su derivada es: f’(x)=a
Ejemplo: f(x)=4x
f’(x)=4

4. Para una variable “x” elevada a una potencia “n”;*
Si f(x)=xⁿ, su derivada es: f’(x)=nxⁿˉ¹
Ejemplo: f(x)=4x³
f’(x)=12x²

5. Para una constante “a” por una variable “x” elevada a una potencia “n”;*
Si f(x)=axⁿ,su derivada es: f’(x)= anxⁿˉ¹
Ejemplo: f(x)=5x²
f‘(x)=10x

6. Para una suma de funciones;*
Si f(x)=u(x)+v(x), su derivada es: f’(x)=u’(x)+v’(x)
Ejemplo: f(x)=7x²+6x
f‘(x)=14x+6



7. Regla de la derivada del producto


Esta regla es útil cuando se tiene una función formada por la multiplicación de polinomios; la regla de producto es:


f'(x)=u'v+uv'


Ejemplo: 


f(x)= (5x³+2) (2x4-6) u’=15x2 v’=8x³
f’(x)= (15x2)(2x4-6)+(5x³+2)(8x³)
f’(x)=30x6-90x2 +40x6 +16x³
f’(x)=70x6+16x³-90x2






8. Regla de la derivada del cociente


Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la división de polinomios; la regla de cociente es:


f'(x)= u'v-uv'  / v2


Ejemplo:

u’=4 v’=1
f(x)= 4x / (x+3)

f’(x)=4(x+3) – 4x(1) / (x+3)2
f’(x)=4x+12 - 4x / (x+3)2
f’(x)= 12 / (x+3)2

*El denominador nunca cambia.






9. Regla de la derivada de la cadena


Esta regla es útil cuando se tiene una función formada por un polinomielevado a una potencia; la regla de cadena es:


f'(x)=n(u)n-1(u’)


Ejemplo:

f(x)= (4x³+2)5 u’=12x2
f’(x)=5(4x³+2)4(12x2)
f’(x)=60x2(4x³+2) 4

*”n” se multiplica solo por la derivada de “u” (u’) y “u” se queda igual.






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